Τμήμα Φυσικής

10ΥΚΟ16 Μαθηματικές Μέθοδοι Φυσικής ΙI

Ιστοσελίδα μαθήματος: https://eclass.uoa.gr/courses/PHYS244

Περίγραμμα μαθήματος

Περιεχόμενο μαθήματος

• Εισαγωγή στις διαφορικές εξισώσεις με μερικές παραγώγους, με παραδείγματα από τη φυσική (κυματική εξίσωση, εξίσωση διάχυσης, εξίσωση Laplace, κλπ). Ταξινόμηση διαφορικών εξισώσεων με μερικές παραγώγους. Αρχικές και συνοριακές συνθήκες. Μέθοδοι επίλυσης.
• Διανυσματικοί χώροι με εσωτερικό γινόμενο: Ανισότητα Cauchy-Schwarz, ορθογωνιοποίηση Gram-Schmidt. Πλήρεις απειροδιάστατοι χώροι συναρτήσεων. Ανισότητα Bessel. Ισότητα Parseval. Βάση απειροδιάστατου χώρου.
• Σειρές Fourier. Γραμμικοί τελεστές σε πλήρεις χώρους: Αυτοσυζυγείς τελεστές, εξίσωση ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων, φασματικό θεώρημα αυτοσυζυγών τελεστών. Συστήματα Sturm-Liouville.
• Μελέτη της κυματικής εξίσωσης και της εξίσωσης διάχυσης στην ευθεία, στην ημιευθεία και σε πεπερασμένο διάστημα. Θεμελιώδεις λύσεις και συναρτήσεις Green. Ανακλάσεις και πηγές.
• Προβλήματα συνοριακών τιμών με ομογενείς και μη ομογενείς συνοριακές συνθήκες για την κυματική εξίσωση και την εξίσωση διάχυσης. Προβλήματα σε καρτεσιανές, κυλινδρικές και σφαιρικές συντεταγμένες.
• Η εξίσωση Laplace. Βασικές ιδιότητες των αρμονικών συναρτήσεων. Επίλυση της εξίσωσης Laplace σε ειδικές γεωμετρίες σε δύο και τρεις διαστάσεις.