Τμήμα Φυσικής

10ΕΛΕ11 Πραγματική Ανάλυση

Ιστοσελίδα μαθήματος: https://eclass.uoa.gr/courses/MATH244

Περίγραμμα μαθήματος

Περιεχόμενο μαθήματος

• Θεωρία συνόλων, αριθμησιμότητα. Μετρικοί χώροι. Tοπολογικές έννοιες. Iσοδύναμες μετρικές. Φραγμένα σύνολα.
• Συνέχεια συναρτήσεων σε μετρικούς χώρους. Ισομετρίες. Συναρτήσεις Lipschitz. Oμοιόμορφη συνέχεια.
• Πληρότητα. Θεωρήματα σταθερού σημείου και εφαρμογές στις διαφορικές εξισώσεις. Θεωρήματα Cantor και Baire και εφαρμογές.
• Συμπάγεια. Διαχωρισιμότητα. Σύνολο Cantor.
• Ακολουθίες και σειρές συναρτήσεων: Aπλή και ομοιόμορφη σύγκλιση, κριτήριο Weierstrass, ομοιόμορφη σύγκλιση και συνέχεια, ολοκλήρωση και διαφόριση.
• Συνεχείς πραγματικές συναρτήσεις σε συμπαγείς μετρικούς χώρους: Θεώρημα προσέγγισης του Weierstrass. Η δομή του μετρικού χώρου C(X).